sinx的n次幂的积分

首先做一点简化:∫[从0到π]x*(sinx)^ndx=∫[从0到π/2]x*(sinx)^ndx+∫[从π/2到π]x*(sinx)^ndx其中在计算∫[从π/2到π]x*(sinx)^ndx的时候可以令t=π-x则∫[从π/2到π]x*(sinx)^ndx=∫[从π/2到0](π-x)*(sin(π-x))^nd(π-x)=∫[从0到π/2](π-t)*(sint)^ndt=∫[从0到π/2](π-x)*(

=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*…*4/5*2/3,当n为奇数; =(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*…*3/4*1/2*π/2,当n为偶数 cosx积分就是sinx,sinx积分就是-cosx,一点点算就能算出来

若n为奇数,则用d(cosx)凑微分,被积函数可化为关于cosx的函数, 若n为偶数,则被积函数为((sinx)^2)^(n/2), 用倍角公式(sinx)^2=(1-cos2x)/2以及积化和差公式化成几项相加的形式, 然后逐项积分

解:原7a686964616fe58685e5aeb931333431373332式=-∫[(sinx)^(n-1)]d(cosx)=-[(sinx)^(n-1)]cosx+∫cosxd[(sinx)^(n-1)]=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫cosx[(sinx)^(n-2)]dx=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫(1-sinx)[(sinx)^(n-2)]dx=-[(sinx)^(n-1)]cosx+(n-1)∫[(

分部积分导出关于n的递推关系,然后根据n的奇偶性分类讨论. 自己算啊!方法都告诉你了. 看这文档的最后:http://ishare.iask.sina.com.cn/f/4754675.html?retcode=0 这种问题以后自己搜索吧.

归约公式(Reduction Formula)

那个是定积分公式.(sin x的n次幂)在0~2分之派上的积分=(cos x的n次幂)在0~2分之派上的积分=若n为偶数:(n-1)/n *(n-3)/(n-2)*```* 3/4 * 1/2 * 派/2若n为奇数:(n-1)/n *(n-3)/(n-2)*```* 4/5 * 2/3不定积分好像没有特别的公式.

(根号π/2)*Γ((1+n)/2)/Γ(1+n/2) 其中Γ(n)=(n-1)!

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