limx 0xlnx

你好!当x趋于0时,sinx等价于x 原式 = lim x*lnx= lim lnx / (1/x)= lim (1/x) / (-1/x^2) 【洛必达法则】= lim -x= 0

看成lnx除以x分之一limx→0(lnx/(1/x))用洛必达法则可得到limx→0(-x)=0推广limx→0 (x^nlnx)=0(n>0) 课本上有例题

lim x*lnx=lim lnx/(1/x)分子分母求导-(1/x)/(1/x)=-xx趋近0,lim x*lnx=0

x^lnx=e^(lnx*lnx)=e^((lnx)^2)x趋向于0时(lnx)^2趋向无穷大,故e^((lnx)^2)因为 趋向无穷大,故limx^lnx的值为无穷大

limsin(1-x)/lnx=limsin(1-x)/ln[1+(x-1)]=lim(1-x)/(x-1)=-1

limx趋近于0lncotx/lnx=lim(x->0) 1/cotx (-csc方x)/(1/x)=lim(x->0) -x/(sinxcosx)=-lim(x->0) x/(x)=-1

当x右趋于0时,lnx趋于负无穷,x/e趋于0,k不变,因此整个式子趋于负无穷+k=负无穷;当x趋于无穷大时,lnx趋于无穷大,x/e趋于无穷大,k不变.但是因为lnx是低于任何一个正多项式的无穷大,就是说当x趋于无穷时,lnx/任何一个趋于无穷大的多项式 趋于0,从而lnx在x/e面前忽略不计,从而原式趋于负无穷大.lnx/(x/e)趋于零用洛必达法则立即得到,然后设f(x)=(lnx-x/e+k)/(x/e),明显有这个函数极限为-1,从而原来那个趋于负无穷大.

对比函数图像来看就比较好理解了,比如下图lnx的函数图,当x从右侧趋近于0的时候y就趋近于-∞

当x-->1时,lnx=ln(1+x-1)与x-1等价,于是lim(x-->1)(x/x-1)-(1/lnx)=lim(x-->1)[xlnx-x+1]/[(x-1)lnx]=lim(x-->1)[xlnx-x+1]/[(x-1)^2] (利用罗比达法则)=lim(x-->1)(lnx)]/[2(x-1)] (再用替换)=lim(x-1)]/[2(x-1)]=1/2.

不等 x>0-lim(lnx)->-无穷ln(limx)不存在

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