Cos的n次方定积分

当n=2m+1为奇数时,∫cos^(2m+1)xdx=∫cos^(2m)xd(sinx)=∫(1-sin^2x)^md(sinx),令sinx=t即可计算;当n=2m为偶数时,注意到cos^2x=(1+cos2x)/2,故,∫cos^(2m)xdx=∫((1+cos2x)/2)^mdx,展开后,再根据cos2x的次数的奇偶性重复之前的步骤,最终都能积出来.

解答过程如下: Let Im,n=∫(sinx)^baim*(cosx)^ndx then Im,n=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)- ∫(sinx)[(sinx)^m*(cosx)^(n-1)]'dx =(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)- ∫[m(sinx)^m*(cosx)^n-(n-1)(sinx)^(m+2)*(cosx)^(n-1)]dx =(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-mIm,n+(n-1)Im+2

cos^{n}xdx=cos^{n-1}xdsinx然后就可以递归下去了.

比较麻烦cosx的n次方=cosx的n-1次方乘以cosx∫cos^nx-1d(sinx)(表示cosx的n次方,一下同理)后面用分部积分法,最后化成1/ncos^n-1xsinx+n-1/n∫cos^n-2xdx

=(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*…*4/5*2/3,当n为奇数; =(n-1)/n*(n-3)/(n-2)*…*3/4*1/2*π/2,当n为偶数 cosx积分就是sinx,sinx积分就是-cosx,一点点算就能算出来

∫cosxdx=(1/n)cos^(n-1)xsinx+[(n-1)/n]∫cos^(n-2)xdx

如果是(cosx)^n积分限是-派/2那么结果是 派/n(n为偶数) 1(n为奇数)

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