求解一道高数题,中值定理中二阶导数保号性问题,涉及到泰勒公式,如图

昨天刚学了常数齐次线性微分方程,有结论说明,但还没涉及证明

泰勒公式,函数求导然后带入x=0即可1阶:arctanx求导=1/(1+x^2)=12阶:1/(1+x^2)求导

f(a+h)=f(a)+f'(a)h+f''(ξ1)/2!*hf(a-h)=f(a)-f'(a)h+f''(ξ2)/2!*h相加得f(a+h)+f(a-h)=2f(a)+f''(ξ1)/2!*h+f''(ξ2)/2!*h所以f(a+h)+f(a-h)-2f(a)=f''(ξ1)/2!*h+f''(ξ2)/2!

1:他是设多项式p(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3--------+an(x-x0)^n与f(x)接近这就要求p(x)与f(x)的值与各阶导数在x=x0的值对应相等.那么你把p(x)与f(x)分别对x求导,再令他们当x=x0时,相等即可啊.

f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+0.5f''(a)(0-x)^2f(2)=f(x)+f'(x)(2-x)+0.5f''(b)(2-x)^2,两式相减取绝对值得2|f'(x)|《|f(0)-f(2)|+0.5|f''(a)x^2-f''(b)(2-x)^2|《2+0.5(x^2+(2-x)^2),利用二次函数x^2+(2-x)^2在【0,2】上的最大值是2可得结论.

题目要求是直接展开吗?如果不是的话,用间接展开:f'(x)=1/x=1/[2+(x-2)]=1/2*1/[1+(x-2)/2]=1/2*∑[(-1)^n*(x-2)^n/2^n],n从0到∞然后两边从2到x积分,则f(x)=f(2)+∫(2到x)f ' (t)dt=f(2)+∫(2到x)1/2

结论应该是:在开区间(-1,1)内至少有一点x0,使得f(x)在该处的三阶导数为3证明如下:证明:将f(x)在x=0处展开成带拉格朗日尾项的泰勒级数f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x/2!+f'''(η)x/3!=f(0)+f''(0)x/2!+f'''(η)x/3!, η ∈(0,x) (∵f'(0)=0)代入x = -1 , 1, 它们分别相应有ξ1, ξ2∴0=f(-1)=f(0)+f''(0)/2!-f'''(ξ1)/3!, -1

第一题,分子分母同乘(1+tanx)^0.5+(1+sinx)^0.5 [极限为2]=(tanx-sinx)/{[xln(1+x)-x^2]*[(1+tanx)^0.5+(1+sinx)^0.5]}=0.5(tanx-sinx)/[xln(1+x)-x^2]=0.5*(1/cos^2(x)-cosx)/(ln(1+x)+x/(1+x)-2x) 洛必塔法则=0.5(tan^2(x))/(ln(1+x)+1-1/(1+x)-2x)=tan(x)/

an=f(x)在x=x0处的n阶导数与n的阶乘的比值 高数和数分中对此有证明, 不过有个前提就是f(x)在x0出n阶导数.

就应该是c1的,泰勒公式是比拉格朗日中值定理更一般的情况,因此和拉格朗日中值定理有类似之处(拉格朗日中值定理不就是f'(c1)吗),这样的泰勒公式不需要有余项,如果最后一项是a的话,f(x)只能是约等于后面的那个式子,

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