拉格朗日中值定理例题

(1)证明: e^x > ex (x>1) 证明:设f(x)=e^x ,则f(x)在区间[1,x]上连续,在区间(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在c∈(1,x),使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1),即e^x -e=e^c(x -1) ,因为c>1,所以e^x -e=e^c(x -1)>e(x -1),即e^x >ex.证毕.(2)证明 b - a >

对于函数f(x)=e^x在区间[0,x]上运用拉格朗日中值定理得:存在一点x0,00, e^(x0)>=1即:(e^x-1)/x >=1所以 e^x>=1+x

设g(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b^2+a^2)}(x^2+a^2)g(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导.g(a)=g(b)=0g(x)在[a,b]上满足罗尔定理.g'(t)=f'(t){[f(b)-f(a)]/(b^2+a^2)}(t^2+a^2)2t=0其中t在(a,b)内.化简2t[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(t)

(1) e^x > ex (x>1)证明:设f(x)=e^x ,则f(x)在区间[1,x]上连续,在区间(1,x)内可导,由拉格朗日中值定理,存在c∈(1,x),使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1),即e^x -e=e^c(x -1) ,因为c>1,所以e^x -e=e^c(x -1)>e(x -1),即e^x

1,根据拉格朗日中值定理1/(1+c^2)=(arctan x -arctan0)/(x-0) 0<c<x存在这么一个c 得到arctanx=x/(1+c^2)<x arctanx=x/(1+c^2)>x/(1+x^2)2,证明:可以用高中的做但是都大学了最好用拉格朗日中值定理做因为会更方便的 对lnx在(a,b)使用拉格朗日中值定理得:lnb-lna=ln(b/a)=(b-a)/ξ,ξ∈(a,b)(b-a)/b<(b-a)/ξ<(b-a)/a 即(b-a)/b<ln(b/a)<(b-a)/a

1)当x>0时,(x-ln(1+x))' = 1-1/(1+x) =x/(1+x) > 0,而且当x=0时,x-ln(1+x)=0, 所以由拉格朗日定理,x-ln(1+x)=0+η/(1+η)*x>0,其中η在0到x之间.所以ln(1+x)同样,(ln(1+x)-x/(1+x))' = 1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2 > 0, 展开 作业帮用户 2017-11-08 举报

回答问题之前先说一下,我觉得你的f(x)是不是三分之二乘以x的三次方啊,你的写法是不符合规则的,应该写成2乘以x的三次方只后在除以3,不然按你的是x的三次方在分母上.先回答第一问,f(x)的导数为f'(x)=2*x*x-4*x+m,而f(x

解:由拉格朗日中值定理得: 存在ξ∈[b,a]使得:(设f(x)=lnx) [f(a)-f(b)]/(a-b)=(lna-lnb)/(a-b)=f'(ξ)=1/ξ 又因为1/ξ∈[1/a,1/b] 故有: 1/a≤(lna-lnb)/(a-b)≤1/b 即[(a-b)/a]≤ln(a/b)≤[(a-b)/b]

如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈(a,b),使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

设F(x)=(x-b)*f(x) 因为f(x)在[a,b]上可导,所以F(x)在[a,b]上亦可导 则F'(x)=f(x)+(x-b)*f'(x) F(a)=(a-b)*f(a) F(b)=0 对F(x)在[a,b]上运用拉格朗日定理:存在ξ∈[a,b],使得F'(ξ)=[F(b)-F(a)]/(b-a) 代入F(a),F(b)的值:F'(ξ)=-(a-b)*f(a)/(b-a)=f(a) 根据前面求出的F'

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