解微分F x 2F x 2x

将f(x)写成y的形式xy''-2y'=2xy''-2y'/x=2设dy/dx=y'=p则y''=p'=dp/dx原方程化为dp/dx -2p/x=2这个就化为一阶非齐次微分方程了.P(x)=-2/x,Q(x)=2∫P(x)dx=-2lnx,-∫P(x)dx=2lnxp=e^(2lnx)[∫2e^(-2lnx) dx +C]p=x[∫ (2/x) dx +C]p=x(-2/x +C)p=-2x+Cxdy/dx=-2x+Cx分离变量dy=(-2x+Cx)dxy=-x+Cx/3 +C2令C/3=C1得y=-x+C1x+C2

f'(x)-2xf(x)=2x利用积分因子I=exp(∫-2xdx)=exp(-x^2)两边同乘exp(-x^2)exp(-x^2)f'(x)-2xexp(-x^2)f(x)=2xexp(-x^2)左边恰好是一个导数[exp(-x^2)f(x)]'=2xexp(-x^2)d[exp(-x^2)f(x)]=2xexp(-x^2)dx两边积分exp(-x

这是一阶线性方程,书上有公式,直接代入.

φ(x)=f(x,2f(x,2x))思路是:先对外函数求导,然后对内涵数求导,一层一层的求,最后乘起来.所以,应该有三部分,第一是f'(x,2f(x,2x)),第二是2f'(x,2x),第三是2;综上所述,最后结果是φ'(x)=4f'(x,2f(x,2x))*f'(x,2x)

答:设y=f(x),f(x)+f'(x)=e^x化为:y+y'=e^x(y+y')e^x=(e^x)^2(ye^x)'=e^(2x)两边积分得:ye^x=(1/2)e^(2x)+c解得:y=f(x)=(1/2)e^x+ce^(-x)

先考虑其次方程f''(x)-2f'(x)+5f(x)=0通过特征根方程λ^2-2λ+5=0易得λ=1±2i,得到齐次方程的通解f(x)=e^x[C1cos(2x)+C2sin(2x)]再求非其次方程特解,用微分算子Df=f'(x)满足原式的特解有(D^2-2D+5)f*(x)=2,即f*(x)=[1/(D^2-2D+5)]*21/(D^2-2D+5)=1/5+2D/25+o(D),所以f*(x)=[1/5+2D/25+o(D)]*2=2/5,此为特解所以原微分方程的解为f(x)=e^x[C1cos(2x)+C2sin(2x)]+2/5

解:2f(x)-3f(2-x)=2x 所以有2f(x-2)-3f(x)=4-2x 消去f(x-2),得f(x)=(2x-12)/5

即是解:y'+y=e^x特征方程为:λ+1=0,得;λ=-1所以齐次方程的通解为y1=ce^(-x)由非齐次项e^x,设特解为y*=ae^x则代入方程得:ae^x+ae^x=e^x,得:a=1/2所以原方程的通解为y=y1+y*=ce^(-x)+1/2*e^x与答案是等价的.

由上二式得f''(x)=2e^x-f(x)及f'(x)=3f(x)-2e^x .(1)f''(x)=3f'(x)-2e^x 所以2e^x-f(x)=3f'(x)-2e^x3f'(x)=4e^x-f(x) ..(2)由(1)(2)得3f(x)-2e^x=4/3 e^x-f(x)/310f(x)/3 =10/3 e^xf(x)=e^x

令 u=x+t,则 ∫[0,x]f(x+t)dt = ∫[x,2x]f(u)du,于是,由条件可得 (d/dx)∫[0,x]f(x+t)dt = (d/dx)∫[x,2x]f(u)du = 2f(2x)-f(x).

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